Optimal Insurance Menu Design under the Expected-Value Premium Principle
最新數學模型證實，當客戶隱藏風險態度時，保險公司採固定附加費的線性定價能有效誘發真實資訊。
- 在期望值保費原則與風險態度未知下，最佳策略為超額賠款保險搭配線性定價。
- 風險附加費不受客戶風險趨避程度影響，保險公司無需藉由讓利來刺探主觀偏好。
- 當未知的資訊轉為實質損失風險時，保險公司會以降低附加費的非線性定價誘發揭露。
在保險市場中，自 1976 年以來的經濟學研究不斷試圖解決資訊不對稱帶來的定價難題。當保險公司同時面對客戶損失分佈與風險態度這兩個未知的黑盒子時，如何設計讓客戶自願揭露真實資訊的保險合約？最新發布於 arXiv 的數學模型研究，在期望值保費原則下證明了固定附加費的線性定價策略，能有效破解風險態度隱藏的困境。
諾貝爾獎認證的資訊不對稱與保險雙重未知挑戰
保險市場的根本特徵在於保險公司與保戶之間的資訊不對稱。保戶通常握有自身的私人資訊，例如健康保險中的生活習慣、車險中的駕駛行為。儘管現代保險公司能透過肇事紀錄或信用評分來勾勒風險輪廓，但這些數據始終無法完全消除資訊摩擦。Akerlof、Spence 與 Stiglitz 三人正是因為對資訊不對稱市場的開創性研究，獲得 2001 年諾貝爾經濟學獎。
在保險情境中，資訊不對稱往往具有「雙重性」。一方面是客觀的風險類型，即潛在損失的機率分佈；另一方面則是主觀的風險態度，即保戶面對風險的趨避程度。傳統上，如果保險公司只提供單一保單，將面臨嚴重的逆向選擇問題。
為了誘發資訊揭露，更有效的作法是設計一套合約菜單，讓具備不同特徵的客戶依照自身利益最大化進行自我選擇，從而透露出真實的風險底牌。雙重未知性構成了現代保險合約設計中最具挑戰性的數學與經濟命題。
導入 Stackelberg 賽局建立保險定價的動態模型
為了精確描述保險交易的互動，本研究採用連續時間的 Stackelberg framework（一種主從博弈模型，由一方先行動，另一方再回應）建立定價模型。保險公司作為領導者，首先制定並公布保費規則與理賠方案；而客戶作為跟隨者，觀察費率後選擇最適當的理賠涵蓋範圍。
模型中，保戶的未投保損失遵循經典的 Cramér-Lundberg risk model（一種用於描述保險公司或保戶隨時間累積盈餘與隨機理賠損失的數學模型），其損失事件發生頻率由常數強度的泊松過程決定。雙方的決策皆基於均值變異數準則，也就是在追求預期財富最大化的同時，減去風險帶來的效用折損。
近期相關文獻多半在變異數保費原則下探討此模型，但本文將基準轉換為實務與理論上更經典的 expected-value premium principle（期望值保費原則）。在該原則下，保險公司收取的保費，等於預期理賠金額乘上一個大於零的風險附加費率。保費原則的改變，直接影響了最佳合約的數學結構與定價行為。
期望值保費原則下針對隱藏風險態度的契約設計
研究首先聚焦於保險公司僅面臨「風險態度未知」的情境。假設保險公司已知客戶的客觀風險機率，但只掌握客戶風險趨避係數的機率分佈區間。客戶在選擇合約時，會策略性地回報一個風險偏好參數，保險公司的任務則是設定一組附加費函數，使合約滿足說實話約束。
這意味著，合約菜單必須設計得恰到好處，使得一位真實風險趨避係數特定的保戶，在選擇專屬合約時，其均值變異數效用會大於他假冒成其他風險偏好的結果。透過解開擴展的 Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB) 偏微分方程式，研究確認了在動態決策下，客戶必定會選擇超額賠款保險。
超額賠款機制規定客戶必須承擔一定額度的自付損失，只有當單次損失金額超過該自負額門檻時，保險公司才會介入理賠。這個理賠函數不僅是無資訊不對稱時的最佳解，在存在資訊不對稱的動態賽局中，同樣扮演著極大化客戶效用的關鍵角色。
超額賠款形式與固定風險附加費構成的線性定價
在確定了超額賠款的理賠形式後，研究深入剖析了說實話約束對定價的數學限制。對客戶效用函數進行偏微分的推導顯示，為了讓不同風險偏好的保戶皆誠實申報，風險附加費的微分必須等於零。這得出了一個明確的數學結論：最佳的風險附加費必須是一個不變的常數。
換言之，當資訊不對稱僅存在於主觀風險態度時，保險公司應採取線性定價策略。無論保戶是極度害怕風險，還是相對敢於承擔風險，保險公司都會在預期理賠額之上，收取固定比例的附加費。
這種線性機制的優勢在於，保險公司不需要為了探測保戶的主觀偏好而刻意讓利。保戶的真實風險趨避程度會反映在他們對自負額高低的選擇上，市場機制會自然而然地將不同態度的人分流到對應的合約上，同時極大化保險公司的預期利潤。
隱藏風險類型促使保險公司調降風險附加費
相對於主觀態度，若保險公司面對的是「風險類型」這項資訊被隱藏，機制的運作將發生根本性的轉變。依據論文推導顯示，當保戶的真實損失分佈成為私人資訊時，保費定價將無法維持常數，轉而必須採取非線性定價。
為了解決風險分佈未知的複雜常微分方程式，研究透過固定點定理證明了均衡合約的存在。結果顯示，保險公司會針對高風險保戶給予較低的風險附加費率。這種遞減風險附加費的設計具備強烈的經濟直覺：保戶的風險類型直接牽動實質理賠成本，其資訊價值遠勝於主觀的風險偏好。
為了誘使潛在的高風險保戶自我揭露，保險公司必須在附加費上給予折扣，讓他們願意主動購買涵蓋率較高的保單組合。保戶風險趨避係數與實質機率分佈間的交互作用，最終決定了保險市場在高度不確定性下的真實定價樣貌。
面對不對稱的資訊市場，保費定價不只是風險轉嫁的成本，更是誘發隱藏資訊自動浮現的策略性誘餌。