Hydrodynamic loads and vortex evolution from a bio-inspired pectoral fin near a solid body

把一片 40 mm 透明壓克力板裝在仿魚體側面、在水槽裡以 0.25 至 2 Hz 反覆拍動——Brown University 的研究者從中得到一個非直覺結果：當 Strouhal 數達到 St ≥ 0.209，模擬胸鰭向下關閉時不只是阻力，還能主動產生推力。實驗橫跨 12 組不同拍動幅度與頻率組合，搭配 PIV（粒子影像測速）同步量測流場，完整揭開魚類側鰭的流體力學量化圖像。

仿魚胸鰭水槽實驗：Brown 大學 Re_f = 7,600 的模型設計

實驗在 Brown University 自由液面水槽（測試截面 80 cm × 60 cm）進行，魚體為 3D 列印的 NACA 0015 修改翼型二維剖面，整體尺寸 320 mm × 50 mm。以壓克力薄板模擬理想化胸鰭：弦長 c = 40 mm、厚度 3.2 mm，鉸接於魚體最大厚度後方 0.61c 處，由伺服馬達驅動沿前緣單軸翻轉。兩端加裝端板以抑制三維效應。

自由流速固定為 U∞ = 0.2 m/s，對應翼弦雷諾數 Re_f = 7,600、魚體雷諾數 Re_b = 60,000。六軸力矩感測器（ATI Gamma）以 1,000 samples/s 同步記錄升阻力，PIV 以 100 image pairs/s 擷取流場，32×32 像素查詢窗搭配 50% 重疊，空間解析度達 1 mm，每組工況相位平均 30–120 個拍動週期。

正弦拍動方程 θ(t) = Aθ(1 − cos 2πft)，測試的拍幅 Aθ ∈ {7.5°, 15°, 30°}、頻率 f ∈ {0.25, 0.5, 1, 2} Hz，降頻係數 k（reduced frequency）= 0.16–1.26，Strouhal 數 St = 0.013–0.419，完整 12 組工況如下表。

準穩態基線：θ > 25° 升力崩潰與剪切層遲滯

以 2°/s 極慢速拍動（k = 0.006）作為準穩態基線。升力係數 CL 在低角度開鰭階段（θ < 25°）隨角度增大，歸因於鰭與魚體之間剪切層（shear layer）形成的拱曲效應（cambering effect）——連續附著的剪切層如同翼型增加彎度，使整個鰭—體構型產生正升力。

當 θ 超過 25°，剪切層從魚體表面分離，升力驟降並轉為負值，最大偏移位於 θ ≈ 76°。更值得關注的是遲滯現象（hysteresis）：關鰭階段（θ 遞減）即使回到與開鰭相同的角度，剪切層仍維持分離態，升力以單調趨勢緩慢回升至零，而非沿開鰭路徑恢復。開鰭和關鰭在同一角度的升力差異，是流場「記憶效應」的宏觀表現——流場的狀態具有對前一時刻的依賴性，無法僅憑當下幾何形狀判斷力的大小。

k = 1.26 動態工況：主渦軌道行為與次生渦強度隨 St 變化

動態拍動中，升力擾動 ΔCL 在大多數工況為負值（側向力朝向魚體）。例外出現在最高頻率 k = 1.26、最大拍幅 St = 0.42 工況：開鰭加速瞬間 ΔCL 出現正值，對應鰭與魚體角落的流體吸力效應——高速開鰭造成角落空間快速膨脹，流體因慣性無法即時補充，形成局部低壓，PIV 場中可見反向補充流。

開鰭過程中，前緣邊界層的渦量持續輸送至鰭尖，形成順時針主渦（main vortex）；主渦在最大拍角附近脫落，隨平均流向下游對流。St 較大時，關鰭階段還在鰭尖生成次生渦（secondary vortices），由反向角加速度與魚體壁面反向剪切共同誘導，多個小尺度渦繞主渦呈軌道行為（orbiting behavior）順時針公轉。St 越大，次生渦越強越多；低 St 時次生渦弱到幾乎無法在 PIV 中辨識。

相位偏移分析顯示，升阻力相對鰭角的時間延遲主要由降頻係數 k 決定，而非 St：固定 k 時，升力相位最大散布 Δφ_CL = 0.17π（k = 0.157），阻力相位最大散布 Δφ_CD = 0.13π（k = 1.257）。

St ≥ 0.209 的推力生成：關鰭射流推動主渦的機制

阻力擾動 ΔCD 在 St ≥ 0.209 時出現負值（即推力），發生於關鰭階段 t/T = 0.55–0.77。PIV 的水平速度場（u）揭示其機制：當鰭向下加速關閉，鰭與魚體之間角落的流體被擠壓排出，形成向下游噴射的局部射流（local jet）*，射流動量推動主渦向下游位移，整體效應在力感測器中呈現為推力。

物理圖像類似「手掌拍水」：不是鰭直接向後划水，而是鰭關閉時壓縮的流體以射流形式對已形成的主渦施加動量衝擊，後者被推向下游。更高的 St（如 St = 0.42）帶來更強的主渦與更大角加速度，射流效應更顯著，推力幅值也更大。阻力波動 ΔCD 的整體幅值對拍動幅度與頻率均呈單調增長，主要貢獻來自幾何變形的型阻（profile drag）與附加質量（added mass）效應。

SINDy 資料驅動定標：St² 主導升阻力縮放

由於鰭—體構型的複雜性，從第一原理推導定標律相當困難。研究者採用 SINDy 算法（Sparse Identification of Nonlinear Dynamics，非線性動力學稀疏識別）進行資料驅動定標，在候選縮放項庫 {St, k, A, St², kSt, ASt, St²k} 上以 L2 最小化迭代刪除低權重項，選出最稀疏且物理意義最豐富的縮放律。

升力縮放以 St² 為最主導單項，最終係數 a_CL = [−6.66, 2.54, 105.02, 2.67, −29.62, −48.91]，St² 對應係數遠大於其餘各項；阻力縮放全部三個選取項均為 St 的非線性組合（St²、A*St、St²k），係數 a_CD = [−33.78, 16.35, 33.32]。驗證結果顯示，高 k、高 St 工況的縮放誤差最小；低 St 工況因訊號幅值小、訊噪比低而誤差稍大；升力縮放精度整體優於阻力縮放。這套方法可延伸至其他複雜流體構型的無量綱化研究，亦可用於相位偏移等其他觀測量的定標分析。

胸鰭關閉時的局部射流在 St ≥ 0.209 觸發推力，St² 非線性組合主導整體縮放——仿生水下載具的驅動機制遠比對稱正弦拍動的直覺複雜。