A numerical approach to the co-design of PID controllers and low-pass filters for time-delay systems

PID（比例-積分-微分）控制器是工業界最普遍的控制機制，但在具備時間延遲的動態系統中，直接外掛低通濾波器來抑制雜訊的常規手法，往往會破壞系統的強健性。最新研究證明，如果把濾波器時間常數與 PID 參數進行聯合最佳化，可使閉迴路系統的光譜橫座標指標從 -0.1475 大幅優化至 -0.2435，在確保延遲裕度的同時提升整體動態效能。

微分濾波器在時間延遲系統的頻譜干擾現象

在工程應用中，PID 控制器的微分作用很難以理想狀態實現。受到感測器限制或量測雜訊的影響，工程師通常會為微分部分加上一個一階低通濾波器。這個修改的出發點是為了降低對高頻雜訊的敏感度，但在控制理論中，這種修改等同於引入了一組逼近於單位算子的轉換矩陣（approximate identities，當參數趨近零時等同於理想單位的算子）。在不具備時間延遲的系統中，這樣的調整相對安全；但當系統具有時間延遲時，這種看似微小的變動會產生不可忽視的副作用。

時間延遲（time-delay）會使閉迴路系統具備無限維度的特性。在這樣的結構下，加上低通濾波器並不僅僅是抑制了高頻雜訊，它會從根本上改變閉迴路特徵根（characteristic roots）的頻譜分佈。如果系統原本相對於這類無窮小的擾動缺乏足夠的強健性，加入濾波器反而會破壞系統穩定。現有的文獻顯示，即使系統在理想 PID 下呈現指數穩定，外掛濾波器後仍可能導致預期效能與實際閉迴路行為產生極大落差。

多數傳統控制器設計方法通常先針對無濾波器的理想模型進行最佳化，之後再透過啟發式的經驗法則補上濾波器。這種「先設計、後外掛」的兩階段策略，往往導致系統在面對高頻擾動或細微的時間延遲時顯得極為脆弱。這也是為何純理論推導的 PID 參數，在投入實際工業環境後容易出現意料之外的震盪或失控。

針對無限維度時滯系統的光譜橫座標最佳化

相較於常微分方程式可以用有限的特徵值來決定穩定性，具有狀態延遲或輸入/輸出延遲的線性非時變（LTI）系統需要使用準多項式（quasi-polynomial）來描述其特徵方程式。這意味著系統具備無限多個特徵根，無法透過傳統的極點配置技術來直接指派每個根的位置。在這些特徵根中，擁有最大實部的根被稱為光譜橫座標（spectral abscissa），它決定了系統整體的衰減率與穩定裕度。

控制設計的一個常見效能目標，是盡可能將光譜橫座標推向複數平面的左側，藉此極大化閉迴路系統的指數衰減率。然而，針對高維度或具備多重延遲的系統，這類最佳化問題在數學上極度複雜，幾乎無法求得解析解，必須高度仰賴數值分析工具。近年來，基於頻譜敏感度分析與延續演算法的數值軟體（如 TDC-Control 或 tdcpy 等 Python 套件）逐漸成熟，為處理這類無限維度的運算提供了基石。

當在 PID 控制中引入低通濾波器後，系統的架構會轉化為延遲微分代數方程式（DDAE），但本質上仍屬於延遲型動態系統。這表示只要濾波後的閉迴路光譜橫座標小於零，系統就能保證指數穩定。如果能找到一套演算法，直接鎖定帶有濾波器的特徵方程式來尋找光譜橫座標的最小值，就能從源頭消除理想設計與實際運作之間的效能斷層。

將濾波器常數 T 納入 PID 迴路控制參數的設計

為了根本解決後置濾波器造成的穩定性衰退，研究團隊提出了一種聯合設計（Co-design）架構。這個框架的核心理念在於：不應將濾波器視為單純的雜訊過濾工具，而應將其視為形塑系統標稱效能與強健性的基礎控制元件。在具體的數學表述中，研究人員將濾波器的時間常數 $T$（其倒數為濾波器的截止頻率）升格為與比例增益 $K_p$、積分增益 $K_i$、微分增益 $K_d$ 同等地位的最佳化變數。

在這套新的數值設計流程中，系統目標被設定為同時尋找這四組參數的最佳組合，藉由直接最小化濾波後閉迴路系統的光譜橫座標，來平衡低頻域的追蹤效能與高頻域的強健性。這種直接鎖定最終實體化模型的做法，能夠有效調和近似單位算子所引起的系統波動問題，確保實作時的延遲裕度（delay margin）不會被濾波器給侵蝕。

為確保濾波器常數符合硬體條件與現實需求，設計者可以為時間常數給定一個合理的上下界區間 $[T_{\min}, T_{\max}]$。如果 $T$ 設得太小，系統容易出現高頻共振模態，增加對量測雜訊的敏感度；如果 $T$ 設得太大，則會過度遲滯微分反應速度。將 $T$ 限制在安全區間內參與整體迴路尋優，能找出效能與抗噪能力的最佳平衡點。

利用非平滑 BFGS 求解器處理限制條件的問題

在進行光譜橫座標最佳化時，設計者會面臨一個嚴峻的數學挑戰：光譜橫座標函數本身是非平滑（non-smooth）的。當多個特徵根的實部互相交會或交換主導地位時，目標函數會出現折點或不可微的狀態。傳統基於梯度的平滑最佳化演算法在遇到這類地形時，往往會卡在局部極值或無法收斂。因此，必須引入能夠處理非平滑函數的數值求解器，例如 HANSO 或 SciPy 中的 BFGS 演算法實作。

為了解決時間常數 $T$ 必須落在限定區間 $[T_{\min}, T_{\max}]$ 的物理限制，研究團隊並未使用傳統的約束最佳化架構，而是透過設計一個特製的懲罰函數（penalty function），將其轉化為無約束最佳化問題。當演算法嘗試將 $T$ 帶離給定區間時，懲罰函數會依照偏離的程度，對目標值施加一個以係數 $\alpha$ 為比例的懲罰。

雖然在許多傳統演算法中，這類嚴格的懲罰函數會因為破壞函數的平滑度而受到排斥，但在這個特定情境下，由於光譜橫座標本身就已是非平滑函數，增加的懲罰項並不會造成額外負擔。數學證明顯示，只要對這個帶有懲罰項的目標函數找到局部極小值，該解必然會落在原始設定的物理限制區間內，並且等同於原問題的有效解。

在 0.2 秒延遲邊界下的控制器效能對比與驗證

為了具體驗證聯合設計的優勢，文獻中提出了一個帶有輸入延遲的動態系統範例。如果要求系統必須能承受最少 $0.2$ 秒的輸入延遲（$\tau_0=0.2$），並依照過去僅針對理想 PID 進行優化的經驗法則，設計者只能在後期強行配置一個時間常數 $T=0.1$ 的濾波器。在這種條件下，計算出的閉迴路光譜橫座標為 -0.1475。

如果改用聯合設計架構，讓 $K_p$、$K_d$ 以及濾波器常數 $T$ 同時進入非平滑最佳化求解器進行搜尋，演算法會給出全新的配置：不但 PID 參數發生了位移，濾波器時間常數也被微調至 $T=0.1740$。在新的參數組合下，閉迴路系統的光譜橫座標來到了 -0.2435。不僅系統的收斂與衰減速度得到了顯著改善，整體的延遲裕度也隨之擴展。

這項數值驗證顯示，當調整比例與微分增益時，系統在 $(T, \tau_0)$ 平面上的穩定區域其實會隨之改變。傳統將兩者拆開的做法，完全浪費了這層耦合關係所能帶來的優化空間。透過聯合設計，工程師不只能確保軟硬體整合後的理論極限更貼近現實，更能直接將感測器頻寬或雜訊耐受度化為演算法設計的輸入條件之一。

面對具備延遲的控制系統，不應將低通濾波器視為單純的雜訊後處理工具，將濾波參數與 PID 同步進行聯合最佳化，才是突破閉迴路效能極限與穩定性盲區的關鍵路徑。