Online optimization of nonlinear lattice using a data-driven chaos indicator

布魯克黑文實驗室驗證數據驅動渾沌指標的線上優化潛力。藉由評估電子束軌跡的不可預測性，團隊僅花費 1 小時便完成單次優化週期，成功將 NSLS-II 儲存環的離軸注入效率從 70% 提升至 90% 以上。

NSLS-II 儲存環的非線性動力學與模型盲區

同步輻射光源等大型加速器設施的核心效能，高度仰賴儲存環（storage ring）內電子束的非線性動力學。這些動力學特性直接決定了兩大關鍵指標：動態孔徑（Dynamic Aperture, DA，粒子能穩定運作的相空間範圍）與動量接受度。在最初的設計階段，物理學家通常會利用理想的加速器物理模型，透過調整晶格（lattice）參數來最大化這兩項指標。

當這座能量達 3 GeV（十億電子伏特）的 NSLS-II 機器實際建造完成後，硬體必然帶有未被模型捕捉的微小缺陷。這些缺陷包含磁鐵磁場誤差、安裝對位與校正的殘留偏差、磁滯效應以及雜散磁場。這類理想模型與實際建造狀態之間的差異，會導致機器運作時的非線性效能明顯低於設計預期，使得直接基於真實實驗數據進行線上優化，成為維持加速器效能的必要手段。

要在線上優化非線性晶格，最大的阻礙在於如何定義一個穩健的目標函數。這個函數必須能在有限的電子束運轉時間內測量，且對決定動態孔徑的非線性動力學具備足夠敏感度。傳統的渾沌指標，例如李亞普諾夫指數（Lyapunov exponents）或正反向積分誤差，雖然在離線電腦模擬中威力強大，但在充滿雜訊與時間限制的真實加速器環境中，卻極難獲得精確量化。

藉由代理模型與 TbT 數據定義預測誤差

為了解決量化難題，研究團隊導入了數據驅動渾沌指標（Data-Driven Chaos Indicator, DDCI）。這個指標的理論基礎在於：渾沌現象會限制系統的可預測性。當電子束的運動被儀器記錄為逐圈（turn-by-turn, TbT）軌跡時，我們能用這些觀測數據訓練一個代理模型（surrogate model，用於替代複雜運算的近似模型），讓它學習電子束在儲存環中繞行一圈的映射關係，接著評估該模型對未參與訓練數據的預測表現。

在理想的幾何描述中，渾沌的特徵在於對初始條件呈指數級的敏感度，這意味著初始條件的微小差異會隨時間被無限放大。即便系統處於線性範圍，相鄰軌跡呈線性傳播，但對於渾沌軌跡，軌跡偏差仍會隨著李亞普諾夫指數與運轉時間呈指數增長。這種指數級別的增長，意味著系統存在一個無法跨越的預測極限，超過此極限的軌跡預測將完全失去參考價值。

在真實機台環境中，觀察到的軌道數據同時包含了測量雜訊與動態效應。當代理模型利用現有數據去預測下一圈的軌跡時，產生的預測誤差可以分解為三個部分：模型偏差、隨機效應（如光束位置監測器 BPM 讀數波動或輻射阻尼）以及緩慢漂移（如軌道或光學特性的漸變）。在 NSLS-II 的高精度診斷設備與短暫採集時間框下，測量雜訊與漂移的影響被大幅抑制。只要固定代理模型的架構複雜度，預測誤差的劇烈變化便能直接反映底層非線性動力學的渾沌程度。

結合高斯過程迴歸與 6 組六極磁鐵的優化

在硬體操作面上，NSLS-II 儲存環包含了 30 個單元與雙彎曲消色差晶格結構。研究團隊挑選了 6 組諧波六極磁鐵（harmonic sextupoles）作為主要的調校旋鈕。六極磁鐵通常用於修正儲存環內的色度問題，但其物理特性也會引入額外的非線性干擾；透過精細優化這 6 組磁鐵，可在不改變原始線性色度的前提下有效抑制渾沌現象。

優化器在評估每一種六極磁鐵配置時，會使用衝擊磁鐵在橫向相空間中，將電子束激發到 4 種逐漸增加的振幅。這些激發振幅在水平面上均勻分布於 0.5 到 1.2 kV 之間，垂直面上則介於 0.3 到 0.6 kV。每次激發都會重複 3 次以確保數據一致性，並由一對專屬的 BPM 設備擷取逐圈位置數據，再經過非線性校準轉換為四維相空間座標，作為後續演算的基礎。

為了證明 DDCI 指標不被特定的演算法框架綁定，團隊這次採用了高斯過程迴歸（Gaussian process regression）作為代理模型。系統隨機抽取 90% 的輸入輸出數據進行模型訓練，剩餘 10% 用於樣本外測試。產生出來的預測誤差標準差，隨即被回傳給貝氏優化器（Bayesian optimizer）以決定下一步調整。每次完整的優化週期大約執行 40 次硬體評估，總耗時僅約 1 小時，與常規的同步輻射用戶設施運轉排程完美契合。

動態孔徑擴展與突破 90% 的離軸注入效率

經過線上優化後，電子束在 4 種激發振幅下的軌跡預測表現皆有顯著改善。交叉驗證數據顯示，雖然少數相空間分量的改善幅度較弱且伴隨統計波動，但整體的預測不確定性確實呈現系統性降低。這代表透過六極磁鐵的重新調校，電子束在儲存環內的運動軌跡變得更為規律且容易預測。

最直接的效能證明展現在真實的動態孔徑擴展上。團隊透過實驗逐步增加衝擊磁鐵的踢力，直到儲存環內的電子束完全脫離動態孔徑而流失。測試結果明確指出，優化後的機台設定能夠承受遠大於原始配置的踢力振幅，才發生光束流失現象，證實機器的水平動態孔徑已獲得實質意義上的放大。

伴隨動態孔徑的擴大，機器的離軸注入效率（off-axis injection efficiency）迎來了顯著躍升。過去這項指標常被直接當作優化的目標，而在本次導入 DDCI 後，機器的注入效率成功從優化前的約 70% 強勢提升至 90% 以上。同時，在相同的電子束填充模式與電流條件下，光束的留存壽命保持不變，確認本次優化並未對動量接受度造成任何負面折損。

實測雜訊挑戰與 DDCI 跨設施遷移潛力

將 DDCI 從電腦模擬搬到真實機台，必須克服截然不同的環境變數。在離線模擬中，物理軌跡來自高保真度的數學模型，且能平行生成大量帶有完美初始條件的合成數據，渾沌現象純粹源自系統本身。然而在線上優化中，儀器傳回的測量數據不可避免地夾帶隨機誤差，數據池的深度也受到限制，更必須在極短的操作時間窗內完成運算迴圈。

儘管理論基礎相同，真實環境的數據採集策略與穩健度分析都比模擬嚴苛許多。這次實驗證明了即便在帶有雜訊的有限數據下，DDCI 依然能作為可靠的渾沌測量代理指標。後續在包含所有插件磁鐵（insertion device）間隙開閉等多種運轉情境下，這套方法均穩定帶來效率提升。

這項基於數據驅動的線上優化機制，徹底擺脫了對高精度物理模型的絕對依賴。只要設施具備標準的逐圈（turn-by-turn）光束診斷能力，就能直接套用這套優化邏輯。未來該方法有望快速移植至全球其他同步輻射光源設施，成為解決非線性晶格調校瓶頸的通用方案。

將預測誤差視為渾沌量尺，不可預測的軌跡數據能直接導引加速器突破實體效能瓶頸。